Introducción a los modelos de regresión y series de Tiempo

Contenido del curso

• Concepto y definición de series de tiempo
• Características y componentes de las series de tiempo
• Diferencias entre datos transversales y series de tiempo
• Aplicaciones de las series de tiempo en diferentes campos
• Panorama general de los modelos de series de tiempo

Concepto y definición de series de tiempo

• Las series de tiempo son comunes en diversas disciplinas, incluyendo economía, finanzas, meteorología, ingeniería y ciencias sociales.

• Formalmente \(Y_t : \{y_1, y_2, \dots , y_T\}\) donde conocemos los valores de la serie hasta \(T\).

¿Por qué estudiar series de tiempo?

• El objetivo principal del análisis de series de tiempo es modelar la estructura temporal de los datos para entender su comportamiento y hacer pronósticos futuros, clave para una planificación eficaz y eficiente.

• Según Hyndman y Athanasopoulos (2021) las condiciones para estudiar las series de tiempo con fines de pronóstico son:

  • Qué tanto entendemos los factores que mueven la serie
  • Cuánta información tenemos sobre la serie
  • Qué tanto se parece el futuro al pasado
  • Si los pronósticos pueden afectar aquello que intentamos pronosticar. (expectativas)

• Aplicaciones prácticas en diversos campos:

  • Finanzas: precios de acciones, tasas de interés.
  • Economía: PIB, inflación, desempleo.
  • Meteorología: temperaturas, precipitaciones.
  • Salud pública: tasas de enfermedades, hospitalizaciones.
  • Industria: control de calidad, mantenimiento predictivo.

Tipos de datos en series de tiempo

• Datos de alta frecuencia: datos recogidos en intervalos muy cortos (segundos, minutos).
• Datos de baja frecuencia: datos recogidos en intervalos más largos (días, meses, años).
• Datos estacionarios: propiedades estadísticas constantes en el tiempo (media, varianza).
• Datos no estacionarios: propiedades estadísticas que cambian con el tiempo (tendencias, estacionalidad).

Graficar del PIB de Colombia (1960-2024)

Python

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import wbgapi as wb

# Descargar datos de la serie de tiempo
data = wb.data.DataFrame(series= 'NY.GDP.MKTP.CD', economy = 'COL', time=range(1960, 2024), columns='series').reset_index()
data.columns = ['Año', 'PIB (US$ a precios actuales)']

# Graficar la serie de tiempo
plt.plot(data['Año'], data['PIB (US$ a precios actuales)'], marker='o')
plt.title('PIB de Colombia (1960-2024)')
plt.xlabel('Año')
plt.ylabel('PIB (US$ a precios actuales)')
plt.xticks(rotation=90)

([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63], [Text(0, 0, 'YR1960'), Text(1, 0, 'YR1961'), Text(2, 0, 'YR1962'), Text(3, 0, 'YR1963'), Text(4, 0, 'YR1964'), Text(5, 0, 'YR1965'), Text(6, 0, 'YR1966'), Text(7, 0, 'YR1967'), Text(8, 0, 'YR1968'), Text(9, 0, 'YR1969'), Text(10, 0, 'YR1970'), Text(11, 0, 'YR1971'), Text(12, 0, 'YR1972'), Text(13, 0, 'YR1973'), Text(14, 0, 'YR1974'), Text(15, 0, 'YR1975'), Text(16, 0, 'YR1976'), Text(17, 0, 'YR1977'), Text(18, 0, 'YR1978'), Text(19, 0, 'YR1979'), Text(20, 0, 'YR1980'), Text(21, 0, 'YR1981'), Text(22, 0, 'YR1982'), Text(23, 0, 'YR1983'), Text(24, 0, 'YR1984'), Text(25, 0, 'YR1985'), Text(26, 0, 'YR1986'), Text(27, 0, 'YR1987'), Text(28, 0, 'YR1988'), Text(29, 0, 'YR1989'), Text(30, 0, 'YR1990'), Text(31, 0, 'YR1991'), Text(32, 0, 'YR1992'), Text(33, 0, 'YR1993'), Text(34, 0, 'YR1994'), Text(35, 0, 'YR1995'), Text(36, 0, 'YR1996'), Text(37, 0, 'YR1997'), Text(38, 0, 'YR1998'), Text(39, 0, 'YR1999'), Text(40, 0, 'YR2000'), Text(41, 0, 'YR2001'), Text(42, 0, 'YR2002'), Text(43, 0, 'YR2003'), Text(44, 0, 'YR2004'), Text(45, 0, 'YR2005'), Text(46, 0, 'YR2006'), Text(47, 0, 'YR2007'), Text(48, 0, 'YR2008'), Text(49, 0, 'YR2009'), Text(50, 0, 'YR2010'), Text(51, 0, 'YR2011'), Text(52, 0, 'YR2012'), Text(53, 0, 'YR2013'), Text(54, 0, 'YR2014'), Text(55, 0, 'YR2015'), Text(56, 0, 'YR2016'), Text(57, 0, 'YR2017'), Text(58, 0, 'YR2018'), Text(59, 0, 'YR2019'), Text(60, 0, 'YR2020'), Text(61, 0, 'YR2021'), Text(62, 0, 'YR2022'), Text(63, 0, 'YR2023')])

plt.grid()
plt.show()

R

library(wbstats)
library(ggplot2)

# Descargar datos de la serie de tiempo
data <- wb_data(indicator = 'NY.GDP.MKTP.CD', country = 'COL', start_date = 1960, end_date = 2024)
colnames(data) <- c('Año', 'PIB (US$ a precios actuales)')

# Graficar la serie de tiempo
ggplot(data, aes(x = Año, y = `PIB (US$ a precios actuales)`)) +
    geom_line() +
    geom_point() +
    labs(title = 'PIB de Colombia (1960-2024)', x = 'Año', y = 'PIB (US$ a precios actuales)') +
    theme_minimal()

Características y componentes de las series de tiempo

• La forma como se relacionan estos componentes determina la estructura de la serie de tiempo y guía la elección de modelos adecuados para su análisis.
• Tenemos una forma general para representar una serie de tiempo:
• Aditiva: \(Y_t = T_t + S_t + C_t + e_t\)
• Multiplicativa: \(Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times e_t\) en términos logarítmicos se convierte en aditiva.
• Donde \(T_t\) es la tendencia, \(S_t\) es la estacionalidad, \(C_t\) son los ciclos y \(e_t\) es el ruido.

Estacionalidad en series de tiempo

• La estacionalidad es un patrón que se repite en intervalos regulares dentro de una serie de tiempo.
• Ejemplos comunes de estacionalidad incluyen:
  • Ventas minoristas que aumentan durante la temporada navideña.
  • Aumento de la demanda de energía durante los meses de verano o invierno.
  • Fluctuaciones en la agricultura debido a las estaciones del año.
• La estacionalidad puede ser diaria, semanal, mensual o anual, dependiendo del contexto de la serie de tiempo.

Ejemplos de series de tiempo con diferentes comportamiento temporal

Media móvil para estimar tendencia

• Se calcula promediando los valores de la serie en una ventana móvil de tamaño fijo.
• Fórmula de la media móvil simple (SMA) de orden \(k\):
• \(SMA_t = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} Y_{t-i}\)
• Donde \(SMA_t\) es el valor de la media móvil en el tiempo \(t\), \(Y_{t-i}\) son los valores de la serie en los últimos \(k\) períodos.

Ejemplo de media móvil en Python

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf

# Descargar datos de la serie de tiempo
df = yf.download('AAPL', start='2010-01-01', end='2024-12-31', progress=False)
df = df['Close']
df.index = pd.to_datetime(df.index)

# Calcular medias móviles
df['Media_movil_k3'] = df['AAPL'].rolling(window=3).mean()
df['Media_movil_k5'] = df['AAPL'].rolling(window=5).mean()

# Graficar la serie original y las medias móviles
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df, label='Serie original', color='blue')
plt.plot(df.index, df['Media_movil_k3'], label='Media móvil (k=3)', color='orange')
plt.plot(df.index, df['Media_movil_k5'], label='Media móvil (k=5)', color='green')
plt.title('Media Móvil de Apple (AAPL)')
plt.xlabel('Fecha')
plt.ylabel('Precio de cierre (USD)')
plt.legend()
plt.show()

Métodos para descomponer series de tiempo

• Descomposición clásica: separa la serie en sus componentes aditivos o multiplicativos utilizando medias móviles.
• STL (Seasonal and Trend decomposition using Loess): método robusto que utiliza regresión local para estimar tendencia y estacionalidad.
• X-12-ARIMA: desarrollado por la Oficina del Censo de EE.UU., combina modelos ARIMA con descomposición estacional.
• SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series): desarrollado por el Banco de España, utiliza modelos ARIMA para extraer componentes de la serie.

Descomposición clásica de series de tiempo aditivas

• La descomposición clásica de una serie \(Y_t\) implica los siguientes pasos:
  • Estimar la tendencia utilizando una media móvil. \(T_t = SMA_k(Y_t)\)
  • Calcular la serie sin tendencia restando la tendencia de la serie original. \(Y_t - T_t\)
  • Estimar la estacionalidad \(S_t\) promedia los valores sin tendencia para cada período estacional (meses, trimestres, etc.).
  • Calcular los residuos restando la tendencia y la estacionalidad de la serie original. \(e_t = Y_t - T_t - S_t\)

Descomposición clásica de series de tiempo multiplicativas

• La descomposición clásica multiplicativa de una serie \(Y_t\) implica los siguientes pasos:
  • Estimar la tendencia utilizando una media móvil. \(T_t = SMA_k(Y_t)\)
  • Calcular la serie sin tendencia dividiendo la serie original por la tendencia. \(Y_t / T_t\)
  • Estimar la estacionalidad \(S_t\) promedia los valores sin tendencia para cada período estacional (meses, trimestres, etc.).
  • Calcular los residuos dividiendo la serie original por la tendencia y la estacionalidad. \(e_t = Y_t / (T_t \times S_t)\)

Ejemplo práctico de descomposición de series de tiempo

• Utilizaremos datos históricos de precios de acciones de Apple (AAPL) desde 2010 hasta 2024 para ilustrar la descomposición de una serie de tiempo en sus componentes principales: tendencia, estacionalidad y ruido.

Ejemplo descomposición de la serie de tiempo python

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf
from statsmodels.tsa.seasonal import STL

# Descargar datos de la serie de tiempo
apple_data = yf.download('AAPL', start='2010-01-01', end='2024-12-31', progress=False)
apple_close = apple_data['Close']
apple_close.index = pd.to_datetime(apple_close.index)

# Descomponer la serie de tiempo
stl = STL(apple_close, period=252)  # Asumiendo 252 días hábiles en un año
result = stl.fit()

# Preparar datos para graficar
list_data = {'Original': apple_close, 'Tendencia': result.trend, 'Estacionalidad': result.seasonal, 'Residuos': result.resid}
colors = ['blue', 'orange', 'green', 'red']

# Graficar la descomposición
fig, axes = plt.subplots(4, 1, sharex=True, figsize=(8, 6))
for i, (key, value) in enumerate(list_data.items()):
    axes[i].plot(value, label=key, color=colors[i])
    axes[i].legend(loc='upper left')
plt.xlabel('Fecha')
plt.show()

Regresión Lineal: Definición

• La regresión es una herramienta que permite estimar la media condicional a una o más variables de una variable dependiente (\(Y\)) dado un conjunto de otras variables llamadas regresoras, variables condicionales o covariables (\(X\)).

• Tenemos \(n\) obervaciones de una variable de interés \(Y\) y un set de \(k\) covariables \(X_{1}, X_{2}, ..., X_{k}\). El modelo lineal para \(Y\) será:

\[ E(Y|\mathbf{X}) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \varepsilon \]

Donde:

• \(E(Y|\mathbf{X})\) es el valor esperado de \(Y\) dado el conjunto de covariables \(\mathbf{X}\)
• \(\beta_k\) estima el cambio promedio esperado en \(Y\) ante cambios en \(X_k\)
• \(\beta_0\) es el intercepto de la regresión
• \(\varepsilon\) errores de estimación

Esquema visual de una regresión lineal

Diferentes tipos de covariables, diferente significado de \(\beta_k\)

• Si tanto \(Y\) como \(X\) son continuos \[\beta_k = \frac{\Delta Y}{\Delta X_k}\] \(\beta_k\) = El cambio promedio esperado en \(Y\) ante un cambio en \(X\)

• Si \(Y\) es númerica y \(X\) es dicotómica \[\beta_k = E(Y|X = 1) - E(Y|X = 0)\] \(\beta_K\) = Es la diferencia promedio esperada en \(Y\) cuando \(X = 1\) respecto a \(X = 0\)

Diferencias entre una regresión y una serie de tiempo

• Las regresiones se centran en modelar la relación entre variables, mientras que las series de tiempo se enfocan en analizar datos secuenciales a lo largo del tiempo.
• Las regresiones pueden utilizar datos transversales o de series de tiempo, pero las series de tiempo siempre implican una dimensión temporal.
• Las series de tiempo requieren considerar la autocorrelación y la estacionalidad, aspectos que no son relevantes en regresiones estándar.
• Las técnicas de modelado y análisis difieren entre ambos enfoques, con métodos específicos para cada uno.

Resumen de la sesión

• Las series de tiempo son secuencias de datos medidos en intervalos regulares a lo largo del tiempo, y pueden descomponerse en componentes como tendencia, estacionalidad, ciclos y ruido.
• La estacionalidad es un patrón recurrente en los datos que ocurre en intervalos regulares, y es importante identificarla para un análisis adecuado.
• La media móvil es una técnica útil para suavizar series de tiempo y estimar la tendencia subyacente.
• La descomposición de series de tiempo puede realizarse mediante métodos clásicos o avanzados como STL, X-12-ARIMA y SEATS.
• La regresión lineal es una herramienta estadística para modelar la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes.
• Las regresiones y las series de tiempo tienen enfoques y técnicas diferentes, aunque pueden complementarse en el análisis de datos temporales.

Actividad 1

• Descargar datos históricos de precios de acciones de Microsoft (MSFT) desde 2010 hasta 2024 utilizando la librería yfinance en Python o tq_get en R.
• Calcular y graficar la media móvil de 10 y 30 días para los precios de cierre.
• Descomponer la serie de tiempo utilizando el método STL y graficar los componentes resultantes: tendencia, estacionalidad y residuos.
• Interpretar los resultados obtenidos y discutir cómo la estacionalidad y la tendencia afectan los precios de las acciones de Microsoft.

Actividad 2

• Ir a la página web del Banco de la República de Colombia y descargar los datos históricos de la tasa de desempleo mensual desde 2000 hasta 2024.
• Utilizar Python o R para graficar la serie de tiempo de la tasa de desempleo.
• Aplicar una media móvil de 12 meses para suavizar la serie y estimar la tendencia.
• Descomponer la serie utilizando el método STL y analizar los componentes de tendencia, estacionalidad y residuos.
• Discutir las implicaciones de los patrones observados en la tasa de desempleo para la economía colombiana.